Problema de Geometría

En un triángulo $ABC$ su circunferencia inscrita es tangente a $ \overline{AB}$, $ \overline{BC}$, $ \overline{CA}$, en $C^1$, $A^1$ y $B^1$ respectivamente, la recta $ l_a$ pasa por los puntos medios de $ \overline{AC^1}$ y $ \overline{AB^1}$, la recta $ l_b$ pasa por los puntos medios de $ \overline{BC^1}$, $ \overline{BA^1}$  y la recta $ l_c$ pasa por los puntos medios de $ \overline{CA^1}$ y $ \overline{CB^1}$ . Si , $ l_a$ $ \cap$ $ l_b$ = {X},$ l_b$ $ \cap$ $ l_c$ = {Y},$ l_c$ $ \cap$ $ l_a$ = {Z},por los puntos X,Y,Z trazamos $ l_3$ $ \parallel$ $ \overline{AB}$, $ l_1$ $ \parallel$ $ \overline{BC}$, $ l_2$ $ \parallel$  $\overline{AC}$ . $ A_c$ y $A_b$ son las proyecciones ortogonales de $A $ sobre $ l_3$ y $ l_2$ respectivamente, $ B_c$ y $ B_a$ son las proyecciones ortogonales $B$  de sobre $ l_3$ y $ l_1$respectivamente, y $ C_a$ y $ C_b$ son las proyecciones ortogonales de $C$ sobre $ l_1$ y $ l_2$ respectivamente. Además la circunferencia ex-inscrita en el triángulo $ABC$, relativa a $ \overline{AB}$ es tangente la recta  $ \overline{AC}$ en $B^{11}$; la circunferencia ex-inscrita en el triángulo $ABC$, relativa a $ \overline{AC}$ es tangente a la recta $ \overline{BC}$ en  $A^{11}$ y la circunferencia ex-inscrita en el triángulo $ABC$, relativa a   $ \overline{BC}$ es tangente la recta $ \overline{AB}$ en  $ C^{11}$. Bajo esas condiciones probar que:

 {$S_a\cdot S_b\cdot S_c$}\{$S_a^1\cdot S_b^1\cdot S_c^1$}$=$$2^{-6}$


Donde:

$ S_a$ = [$A_b$ $A$ $A_c$] = área de la región  $A_b$$A$$A_c$.

$ S_b$ = [$B_a$ $B$ $B_c$] = área de la región $B_a$$B$$B_c$.

$ S_c$ = [$C_a$ $C$ $C_b$] = área de la región $C_a$$C$$C_b$.

$ S_a^1$ = [$A$ $B^1$ $C^{11}$] = área de la región $A$$B^1$$C^{11}$.

$ S_b^1$ = [$B$ $C^1$ $A^{11}$] = área de la región $B$ $C^1$ $A^{11}$.

$ S_c^1$ = [$C$ $A^1$ $B^{11}$] = área de la región $C$ $A^1$ $B^{11}$.

{$S_a$.$S_b$.$S_c$}\{$S_a^1$.$S_b^1$.$S_c^1$} = $2^{-6}$